A XX. század első felének matematikatörténetére visszatekintve két ember munkássága bizonyosan megkerülhetetlen: Kurt Gödel és Alan Turing a matematika évezredes épületének alapjai, illetve felépítménye kapcsán fogalmazott meg korszakalkotó gondolatokat.
Száz évvel korábban két rövid életű, de kivételes tehetségű fiatalnak köszönhetően megszületett már a válasz a matematika évszázadok óta feszültséget keltő néhány kérdésére. E válaszok inkább voltak nyugtalanítóak, mint megnyugtatóak: Niels Henrik Abel igazolta, hogy az ötöd- és magasabb fokú egyenleteknek (a szó hagyományos értelmében) nincs általános megoldási módszere; Évariste Galois nyomán pedig bizonyíthatóvá vált, hogy az ókor klasszikus problémái: a kör négyszögesítése, a kockakettőzés és a szögharmadolás feladata (ismét csak az eredeti felvetés értelmében) hasonlóképpen megoldhatatlanok.
A fentiekhez kapcsolódó (igen nehéz, középiskolai szinten nem tárgyalható) matematikai tételek tehát egy-egy területen megmutatták már a matematika korlátait; Gödel viszont a matematika alapjait képező logika kutatása során arra az általánosabb következtetésre jutott, hogy az előzőeken túl mindig lesznek további olyan (matematikailag értelmezhető) kérdések, amelyekre a matematika soha nem adhat választ; mi több, a matematikai axiómák esetleges kiegészítésével sem tölthető ki az így keletkezett űr. (Pontosabban fogalmazva az űr természetesen nem akkor keletkezett: Gödel „csak” azt mutatta meg, hogy az ismereteink hiányára utaló fekete lyukak a a matematika égboltján éppenhogy a matematika immanens jellemzői; a matematika alapjaiból egyenesen következnek a matematika át nem léphető korlátai.)
Turing –nyilván a róla készült filmeknek köszönhetően is– szélesebb körben a második világháború alatti tevékenységéről ismert: a vezetésével megépített gépek a mai számítógépek közvetlen elődei; csoportja a német rejtjelezés feltörésével meghatározó módon befolyásolta a háború menetét. Hasonlóan jelentősek azonban ezt megelőző elméleti kutatásai is: olyan matematikai modellt alkotott a később megszülető számítógépekről, amely a mai napig érvényesnek látszik. E modell a matematika elemi objektumait használja (halmazokat, függvényeket), s évtizedek múltával is úgy tűnik, hogy a gyakorlatban azok és csak azok a problémák kezelhetőek, illetve oldhatóak meg számítógéppel, amelyek a Turing-féle modell szerint is (azaz a papíron létező Turing-géppel is) értelmezhetőek, illetve megoldhatóak.
Turing a később ténylegesen megépített számítógépek matematikai leírásával egy időben arra is rámutatott, hogy a számítógépek soha nem lesznek képesek bizonyos feladatok megoldására: nem létezik például olyan algoritmus, mely bármely számítógépes program tetszőleges bemenete esetén eldönti, hogy a program véges idő alatt megáll, avagy örökké fut-e. Ezt a kérdést megállási probléma néven ismeri a szakirodalom, a megoldhatatlanságáról szóló tétel bizonyítása pedig lényeges vonásaiban megegyezik Gödel egyik tételének bizonyításával.
Lebililincselő stílusban ír e témákról is a kognitív tudományokkal foglalkozó amerikai fizikus, Douglas Richard Hofstadter Gödel, Escher, Bach című könyvében. E könyv magyar kiadásának 33. oldalától ismerteti a szerző az MU-rejtvénynek nevezett feladatát…
